$\triangle ABC$中,$\angle ACB=60^{\circ}$,$D$为$BC$边的中点,连接$AD$.
$(1)$如图$1$,若$\angle B=45^{\circ}$,$BC=3+\sqrt{3}$,求$\triangle ABD$的面积；
$(2)$如图$2$,$\angle BAC=90^{\circ}$,$F$为$AB$上一点,将$DF$绕点$D$顺时针旋转$60^{\circ}$得线段$DG$,作$CE\bot BG$交$BG$的延长线于点$E$,如果$DG=EG$,求证:$CG=\sqrt{2}DF$；
$(3)$如图$3$,$\angle BAC=90^{\circ}$,$F$为$AB$上一点,将$DF$绕点$D$顺时针旋转$60^{\circ}$得线段$DG$,当$AG$最小时,$K$为平面内一点,将$\triangle KFC$沿$CK$翻折得$\triangle KF\’C$,当$FF\’$最大时,直接写出$\frac{S_{△DCF\’}}{S_{△AFG}}$的值.
​