问题提出
$(1)$如图①,四边形$ABCD$中,$E$在$CD$边上,$AD=AE$、$AB=AC$,$\angle DAE=\angle BAC=40^{\circ}$,连结$BE$交$AC$于点$P$,若$\angle BPC=75^{\circ}$；则$\angle BCD=\_\_\_\_\_\_.$
问题探究
$(2)$如图②,已知等边三角形$ABC$,$AB=8$,$P$是其外一点,且$\angle APB=120^{\circ}$,$PC=9$,求四边形$APBC$的周长.
问题解决
$(3)$某市园林绿化部门为提升城市形象,绿化美化环境,拟在富样路一拆迁后的空地上新建一个家门口的"口袋公园",设计形状大致为四边形$ABCD$,如图③所示.其中$AB$∥$CD,\angle C=90^{\circ}$,$BC=CD$,$AD$段临街道有足够长度,$E$是小道$AB$上某小区的入口（点$E$不在点$B$处),且$AE=200$米,设计人员准备将公园分成$\triangle ADE$,$\triangle BDE$与$\triangle BCD$三大部分,$F$是$\triangle ADE$内一标志点,此处将栽植一棵风景大树,设计$\angle AEF=\angle DAF=45^{\circ}$,$AF\bot DF$,$\triangle ADE$内部种植三种不同类的草坪,平均每平方米约$5$元,留出适当大小的$\triangle BDE$区域作为休闲健身区,其内安装健身器材需$28000$元,$\triangle BCD$内部种植月季等花卉,平均每平方米约需$8$元,请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元?(不考虑其他花费）