在正方形$ABCD$中,$AB=4$,点$O$为对角线$AC$的中点,动点$E$在射线$CA$上,连接$EB$,过点$E$作$EF\bot BE$交射线$DA$于点$F$.当点$E$与$A$重合时,$AF=4$；当点$E$与$0$重合时,$AF=0($点$F$与$A$重合).

$(1)$如图$1$,当点$E$在线段$AO$上时,求证:$EF=BE$；
$(2)$如图$2$,当点$E$在线段$AC$上时,请补全图形,探究线段$AB$,$AE$,$AF$之间的数量关系,并说明理由；
$(3)$如图$3$,若点$P$、$C$在直线$AB$的异侧,且$AP=4\sqrt{2}$,动点$E$沿着$PC$从点$P$向点$C$运动,请直接写出伴随动点$F$的运动路径的长为______.