下列一组方程：$①x+\dfrac{2}{x}=3$，$②x+\dfrac{6}{x}=5$，$③x+\dfrac{12}{x}=7$，$…$，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利求出了前三个方程的解，他的解题过程如下：

由$①$变形，得$x+\dfrac{1\times 2}{{x}}=1+2$，解得$x=1$或$x=2$，

由$②$变形，得$x+\dfrac{2\times 3}{{x}}=2+3$，解得$x=2$或$x=3$，

由$③$变形，得$x+\dfrac{3\times 4}{{x}}=3+4$，解得$x=3$或$x=4$．

$(1)$问题解决：请写出第四个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解；

$(2)$规律探究：若$n$为正整数，请写出第$n$个方程及方程的解；

$(3)$变式拓展：若$n$为正整数，求关于$x$的方程$x+\dfrac{{{n}^{2}}+n}{x-3}=2n+4$的解．