【问题初探】
$(1)$在数学活动课上,张老师给出如下问题:如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$.点$D$在$\triangle ABC$外,连接$AD$,$BD$,$CD$,且$\angle BDC=\angle BAC$.过$A$作$AE\bot BD$于点$E$.求证:$BE=CD+DE$.
①如图$2$,小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路:在$BD$上截取$BF=CD$,连接$AF$,将线段$BE$,$CD$,$DE$之间的数量关系转化为线段$DE$与$EF$之间的数量关系.
②如图$3$,小龙同学从$AE\bot BD$于点$E$这个条件出发给出另一种解题思路:过$A$作$AG\bot CD$交$CD$延长线于点$G$,将线段$BE$,$CD$,$DE$之间的数量关系转化为线段$BE$与$CG$之间的数量关系.请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程.
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【类比分析】
$(2)$张老师发现之前两名同学都运用了转化思想,将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想,张老师提出下面的问题,请你解答.
如图$4$,$\triangle ABC$为等边三角形,$\triangle ACD$是等腰直角三角形,其中$AC=AD$,$\angle CAD=90^{\circ}$,$AE$是$CD$边上的中线,连接$BD$交$AE$与点$F$.求证:$BF=AF+DF$.
【学以致用】
$(1)$如图$5$,在$\triangle ABC$中,$AC=BC$,$\angle ACB=90^{\circ}$,点$D$在$AB$边上,过$B$作$BE\bot CD$交$CD$延长线于点$E$,延长$EB$至点$F$,连接$CF$,使$\angle BCF=\angle ABE$,连接$AF$交$CD$于点$G$,若$BE=\frac{8}{3}$,$CE=\frac{22}{3}$,求$\triangle EGF$的面积.