已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象经过点$(1,0)$，$(-3,0)$，$\left(0,-\dfrac{3}{2}\right).$

$(1)$求二次函数的表达式，并在给定的平面直角坐标系中作出这个函数的图象；

$(2)$若反比例函数${{y}_{1}}=\dfrac{2}{x}(x>0)$的图象与二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象在第一象限内交于点$A(x_{0},y_{0})$，$x_{0}$落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；

$(3)$若反比例函数${{y}_{2}}=\dfrac{k}{x}(x>0,k>0)$的图象与二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象在第一象限内的交点$B$的横坐标$x_{1}$满足$2< x_{1}< 3$，试求实数$k$的取值范围．