抛物线$y=ax^{2}+bx+c$上部分点的横坐标$x$,纵坐标$y$的对应值如表:

$x$	$\ldots$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\ldots$
$y$	$\ldots$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$\ldots$

$(1)$根据如表画出函数图象,并填空:
①对称轴是直线______,当______时,$y$随$x$增大而增大；
②抛物线经过点$(4,$______)；
③当$-2 \lt x \lt 2$时,$y$的取值范围是______.
$(2)$求抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的解析式.
$(3)$若抛物线与$x$轴的交点记为$A$,$B$,该图象在$x$轴上方存在点$C$,且$\triangle ABC$的面积为$24$,则$C$的坐标为______.