小军根据学习函数的经验，对函数$y=\dfrac{a}{(x-1)^{2}+b}$的图象与性质进行探究．下表是该函数$y$与自变量$x$的几组对应值，请解答下列问题：

$x$

…

$-2$

$m$

$-\dfrac{1}{2}$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$4$

…

$y$

…

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{16}{13}$

$2$

$\dfrac{16}{5}$

$4$

$\dfrac{16}{5}$

$2$

$\dfrac{16}{13}$

$\dfrac{4}{5}$

$n$

…

$(1)$求该函数的解析式，并写出自变量$x$的取值范围；表中$m$的值为 ______，$n$的值为 ______.
$(2)$在如图所示的平面直角坐标系中，补全该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______.
$(3)$若关于$x$的方程$\dfrac{a}{(x-1)^{2}+b}=2k-1$无解，则$k$的取值范围是 ______.