如图$1$，边长为$a\:cm$的正方形硬纸板的$4$个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为$x\:cm.$

$(1)$这个纸盒的底面积是 ______$cm^{2}$，高是 ______$cm($用含$a$、$x$的代数式表示$).$
$(2)x$的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：

$x/cm$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
纸盒容积$/cm^{3}$		$m$				$72$			$n$

①请通过表格中的数据计算：$m=$______，$n=$______；
②猜想：当$x$逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：______.
$(3)$若将正方形硬纸板按图$2$方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．
①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是 ______$cm$，______$cm($用含$a$、$y$的代数式表示$)$；
②已知$A$，$B$，$C$，$D$四个面上分别标有整式$2(m+2)$，$m$，$-3$，$6$，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求$m$的值．