如图，已知抛物线$y=ax^{2}+c$过点$(-2,2)$，$(4,5)$，过定点$F(0,2)$的直线$l$：$y=kx+2$与抛物线交于$A$、$B$两点，点$B$在点$A$的右侧，过点$B$作$x$轴的垂线，垂足为$C.$

$(1)$求抛物线的解析式；

$(2)$若$\triangle FOC$的面积为$4$，求$k$的值

$(3)$当点$B$在抛物线上运动时，判断线段$BF$与$BC$的数量关系$(>$、$<$、$=)$，并证明你的判断；