阅读材料，回答问题：
$(1)$中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：
“勾广三，股修四，经隅五$.$”.
这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为$3$和$4$时，那么斜边的长为$5.$”.
上述记载表明了：
在${\rm Rt}\triangle ABC$中，如果$∠C=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，那么$a$，$b$，$c$三者之间的数量关系是： ______ .
$(2)$对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”$($如图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形$)$，利用面积法进行了证明.
参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：$∵S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}ab$，$S_{正方形ABDE}=c^{2}$，$S_{正方形MNPQ}=$______ .
又$∵$______ $=$______ ，
$∴(a+b)^{2}=4×\dfrac{1}{2}ab+c^{2}$，
整理得$a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$，
$∴$______ .