阅读理解并解答问题
如果$a$、$b$、$c$为正整数，且满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么，$a$、$b$、$c$叫做一组勾股数．
$(1)$请你根据勾股数的意思，说明为什么$3$、$4$、$5$是一组勾股数；
$(2)$写出一组不同于$3$、$4$、$5$的勾股数；
$(3)$如果$m$表示大于$1$的整数，且$a=2m$，$b=m^{2}-1$，$c=m^{2}+1$，请你根据勾股数的意思，说明$a$、$b$、$c$为勾股数．