观察下列勾股数：

$①3$，$4$，$5$，且$3^{2}=4+5$；

$②5$，$12$，$13$，且$5^{2}=12+13$；

$③7$，$24$，$25$，且$7^{2}=24+25$；

$④9$，$b$，$c$，且$9^{2}=b+c$；

$……$

$(1)$请你根据上述规律，并结合相关知识可得：$b=$_________，$c=$_________；

$(2)$猜想第$n$组勾股数$(n$为正整数$)$，并证明你的猜想．