如图$1$，正方形纸片$ABCD$的边长为$4$，点$E$、$F$、$M$、$N$分别是正方形纸片四条边上的点，且$AE=BF=CM=DN.$
$(1)$求证：四边形$EFMN$是正方形；
$(2)$把图$1$的四个直角三角形剪下来，拼成如图$2$所示的“赵爽弦图”$($由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形$).$若$EN=\sqrt{10}$，求中间小正方形的面积.