已知抛物线与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$、$C\left(3,0\right)$,与$y$轴交于点$B\left(0,-3\right)$.
$(1)$求抛物线对应的函数解析式；
$(2)$在$x$轴上是否存在点$P$,使$\triangle PBC$为等腰三角形?若存在,求出$P$点坐标；若不存在,请说明理由；
$(3)$点$M$为抛物线上一动点,在直线$BC$上是否存在点$Q$,使以点$O$、$B$、$Q$、$M$为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出$Q$点的坐标；若不存在,请说明理由.