观察探究：
小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现$.$如图，火柴盒的一个侧面$ABCD$逆时针方向倒下后到$AB'C'D'$的位置，连接$CC'.$设$AB=b$，$BC=a$，$AC=c.$

$(1)$他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式$a^{2}-b^{2}$表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；
$(2)$学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形$BCC'D'$的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$