平面直角坐标系中点$P$的坐标为$\left(4,4\right)$,连接$OP$,过点$P$做$PH\bot x$轴于点$H$.

$(1)$如图$1$,点$E$是$OP$上一点,(不与点$O$、$P$重合）作$EM\bot y$轴于点$M$,$EN\bot x$轴于点$N$.则$EM=EN$；
$(2)$如图$2$,将图$1$中的$\angle MEN$绕着点$E$旋转,使$\angle MEN$的一条边经过点$H$,另一条边交$y$轴于点$F$.则$EF$和$EH$的数量关系是______$;\angle FEH=$______度.(直接写出答案）
$(3)$如图$3$,在图$2$的条件下以$EF$,$EH$为邻边作矩形$EFGH$,连接$OG$,则
①矩形$EFGH$一定是正方形,理由:______.(用文字叙述）
②在①的条件下当$OE=3\sqrt{2}$时,求$GH$的长度.