已知平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_{1}$:$y=kx+b$和直线$l_{2}$:$y=bx+k($其中$k$,$b$是不为$0$的常数,$k\neq b)$相交于点$P$,分别交$y$轴于$A$,$B$两点.
$(1)$求证:点$P$在直线$x=1$上；
$(2)$如图,若$0 \lt k \lt 1$,$\angle APB=45^{\circ}$,$AB=4$,求$k\cdot b$的值；
$(3)$在（2）的条件下,若以$A$,$B$,$P$,$Q$为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出此时点$Q$的坐标.