如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8$,$BC=10$.动点$P$从点$A$出发,以每秒$2$个单位长度的速度沿折线$AB-BC$向终点$C$运动,当点$P$出发后,连结$AP$,作$\angle PAQ=90^{\circ}$,边$AQ$交射线$CD$于点$Q$,连接$PQ$.将$\triangle APQ$沿$PQ$翻折,得到$\triangle EPQ$.设点$P$的运动时间为$t$秒.
$(1)$用含$t$的代数式表示$PB$的长；
$(2)$连结$BE$,求$BE$的最小值；
$(3)$当点$E$在矩形$ABCD$的边上时,求$t$的值；
$(4)$连结$AE$,当$AE$经过矩形$ABCD$的边的中点时,直接写出$t$的值.