如图$1$,在平面直角坐标系中,已知$A\left(4,3\right)$,$B\left(-4,3\right)$,$C\left(8,-2\right)$,连接$AB$,并过点$C$作$AB$的平行线$l$.动点$P$、$Q$分别以每秒$1$个单位和每秒$3$个单位的速度,从$A$、$C$两点同时出发水平向左运动.运动过程中连接$PQ$,当$PQ$垂直于直线$l$时,点$Q$提速至每秒$5$个单位并继续向左运动.当点$P$运动到点$B$时,$P$、$Q$两点同时停止运动.设运动时间为$t$.

$(1)$当$PQ\bot l$时,点$P$的坐标为______,点$Q$的坐标为______；
$(2)$连接$OP$、$OQ$得到三角形$OPQ$,在整个运动过程中,是否存在某个时刻,使得三角形$OPQ$的面积为$10$?若存在,求出此时点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
$(3)$在点$P$、$Q$出发的同时,动点$M$从点$O$出发,以每秒$1.5$个单位的速度沿$y$轴正方向运动.当点$P$停止运动时,点$M$也随之停止运动.在运动过程中,连接$PM$、$QM$,分别在$\angle BPM$和$\angle CQM$的内部作射线$PD$、$QE$,使得$∠DPM=\frac{1}{3}∠BPM$,$∠EQM=\frac{2}{3}∠CQM$,直线$PD$、$QE$交于点$N$.请直接写出整个运动过程中$\angle BPM$、$\angle PMQ$与$\angle PNQ$的关系,标注$t$的取值范围；并选择其中一种情况,画图分析说明.