在平面直角坐标系中,点$A\left(1,m\right)$,点$B\left(3,n\right)$在抛物线$y=-\left(x-h\right)^{2}+k$上,设抛物线与$y$轴的交点坐标为$C\left(0,c\right)$.
$(1)$当$c=2$,$m=n$时,求抛物线的表达式；
$(2)$若$c \lt n \lt m$,求$h$的取值范围；
$(3)$连接$OA$,$OB$,$AB$,当$k=4$,$-2 \lt h \lt 2$时,$\triangle AOB$的面积是否有最大值,若有请求出最大值；若没有请说明理由.