下面是某学习小组设计的"过圆外一点作圆的切线"的尺规作图过程.
已知:$\odot O$及圆外一点$P$.
求作:过点$P$且与$\odot O$相切的直线.
作法:如图,①连接$OP$,分别以$O$,$P$为圆心,大于$\frac{1}{2}OP$长为半径画弧,两弧交于$M$,$N$两点；②作直线$MN$,与$OP$交于点$Q$,以$Q$为圆心,以$OQ$长为半径作圆,交$\odot O$于$A$,$B$两点；③作直线$PA$,$PB$.则直线$PA$,$PB$是所求作的$\odot O$的切线.
根据该小组设计的尺规作图过程:
$(1)$使用直尺和圆规,按照上述作法补全图形；(保留作图痕迹）
$(2)$完成下面的证明.
证明:连接$OA$,$MP$,$MO$,$NP$,$NO$,
$\because MP=MO$,$NP=NO$,
$\therefore MN$是$OP$的垂直平分线$,( \_\_\_\_\_\_)(填推理的依据)$
$\therefore Q$为$OP$中点,$QP=QO$,
$\therefore OP$为$\odot Q$的直径,
$\therefore \angle PAO=90^{\circ}$,(______$)(填推理的依据)$
$\because A$点在$\odot O$上,
$\therefore PA$是$\odot O$的切线$.( \_\_\_\_\_\_)(填推理的依据)$