我校中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽$CD$.如图所示,一架水平飞行的无人机在$A$处测得正前方河流的左岸$C$处的俯角为$\alpha$,无人机沿水平线$A$方向继续飞行$60$米至$B$处,测得正前方河流右岸$D$处的俯角为$30^{\circ}$,线段$AM$的长为无人机距地面的铅直高度,点$M$、$C$、$D$在同一条直线上.其中$\tan \alpha =3$,$MC=80\sqrt{3}$米.
$(1)$求无人机的飞行高度$AM$,$(结果保留根号)$
$(2)$求河流的宽度$CD.($结果精确到$1$米,参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.41$,$\sqrt{3}\approx 1.73)$