$A$、$B$两地相距$300km$.甲、乙两人分别开车从$A$地出发前往$B$地,其中甲先出发$a$小时,且$y_{乙}$与$x$的函数表达式为$y_{乙}=kx-k$,如图是甲、乙行驶路程$y_{甲}(km)$、$y_{乙}(km)$随行驶时间$x\left(h\right)$变化的图象.请结合图象信息,解答下列问题:
$(1)$分别求出$y_{甲}$,$y_{乙}$与$x$之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
$(2)$求出点$C$的坐标；
$(3)$在甲的行驶过程中,直接写出甲、乙相距$20$千米时,$x$的值.