先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:求代数式$y^{2}+4y+8$的最小值.
解:$y^{2}+4y+8=y^{2}+4y+4+4=\left(y+2\right)^{2}+4$
$\because \left(y+2\right)^{2}\geqslant 0$
$\therefore \left(y+2\right)^{2}+4\geqslant 4$
$\therefore y^{2}+4y+8$的最小值是$4$.
$(1)$求代数式$m^{2}+m+4$的最小值；
$(2)$求代数式$4-x^{2}+2x$的最大值；
$(3)$某居民小区要在一块一边靠墙（墙长$15m)$的空地上建一个长方形花园$ABCD$,花园一边靠墙,另三边用总长为$20m$的栅栏围成.如图,设$AB=x\left(m\right)$,请问:当$x$取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?