综合与实践
【问题背景】
如图$1$,$AB$与$CD$相交于点$O$,$\angle AOC=45^{\circ}$,$\angle ACD+\angle ABD=225^{\circ}$,若$AB=5$,$AC=3$,$BD=4$,求$CD$的长.
小明同学通过以$CD$和$AC$为边构造平行四边形,搬动了角和边的位置,把众多分散的条件集中起来,运用了转化思想,顺利地解决了问题.
$(1)$下面是小明的解题过程,请完成填空:

解:如图$2$,过点$A$作$CD$的平行线, 过点$D$作$AC$的平行线,两直线交于点$F$,连接$BF$, $\because AC$∥$DF,AF$∥$CD$, $\therefore \_\_\_\_\_\_.$ $\therefore AC=DF$,$CD=AF$,$\angle AFD=\angle ACD$. $\because CD$∥$AF$, $\therefore \angle FAB=\angle AOC=45^{\circ}$. $\because \angle ACD+\angle ABD=225^{\circ}$, $\therefore \angle AFD+\angle ABD=225^{\circ}$.

$\because$四边形$AFDB$的内角和为$360^{\circ}$. $\therefore \angle FDB= \_\_\_\_\_\_^{\circ}.$ $\therefore FB=\sqrt{DF^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $\therefore AB=FB$. $\therefore \angle FAB=\angle AFB=45^{\circ}$. $\therefore \angle FAB+\angle AFB=90^{\circ}$. $\therefore \angle ABF=90^{\circ}$. $\therefore CD=AF=\sqrt{AB^2+BF^2}= \_\_\_\_\_\_.$

【类比分析】
$(2)$如图$3$,在四边形$ABCD$中$,AD$∥$BC,\angle A=90^{\circ}$,$AD \lt AB$,点$E$、$F$分别在边$AD$、$AB$上,且满足$BF=AD$,$AF=DE$,连接$BE$、$DF$,交于点$O$,求$\angle DOE$的度数；
【学以致用】
$(3)$如图$4$,在正六边形$ABCDEF$中,$AB=2$,点$M$、$N$分别是边$CD$、$EF$上的动点,且满足$CM=EN$,连接$MN$.请参照小明的思路,求$MN$的最小值.