如图,在小山的东侧$A$处有一热气球,由于受风力影响,它以$20m/\min$的速度沿着与水平线成$75^{\circ}$角的方向飞行,$30\min$后到达$C$处,此时热气球上的人发现热气球与山顶$P$及小山西侧的$B$处在一条直线上,同时测得$B$处的俯角为$30^{\circ}$.在$A$处测得山顶$P$的仰角为$45^{\circ}$,求$A$与$B$间的距离及山高（结果保留根号).