如图，在矩形$ABCD$中，$P$是边$AD$上的一个动点，连接$BP$，$CP$，过点$B$作射线，交线段$CP$的延长线于点$E$，交边$AD$于点$M$，且使得$∠ABE=∠CBP$，如果$AB=2$，$BC=5$，$AP=x$，$PM=y$，其中$2< x\leqslant 5.$则下列结论中，正确的个数为$(\quad)$
$(1)y$与$x$的关系式为$y=x-\dfrac{4}{x}$；
$(2)$当$AP=4$时，$\triangle ABP$∽$\triangle DPC$；
$(3)$当$AP=4$时，$\tan∠EBP=\dfrac{3}{5}.$