如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_{1}$:$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$D$,$B$两点.直线$y=kx+\frac{9}{4}$的图象与$x$轴交于$C$.直线$l_{1}$与直线$l_{2}$交于点$A\left(a,3\right)$.
$(1)$求点$A$的坐标及直线$l_{2}$的表达式；
$(2)$若点$E$在直线$l_{2}$上,且$\triangle ADE$的面积为$\frac{5}{4}$,求点$E$的坐标；
$(3)$在$x$轴上是否存在点$P$,使得$\angle ACB=2\angle APC$,若存在,求出点$P$坐标,若不存在,说明理由.