对于平面直角坐标系$xOy$中的图形$M$、$N$,给出如下定义:$P$为图形$M$上任意一点,$Q$为图形$N$上任意一点,如果$P$、$Q$两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形$M$,$N$间的"近距离",记作$d\left(M,N\right)$.在▱$ABCD$中,点$A\left(4,8\right)$,$B\left(-4,0\right)$,$C\left(-4,-8\right)$,$D\left(4,0\right)$,如图$1$.

$(1)$直接写出$d($点$O$,▱$ABCD)=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$若点$P$在$y$轴正半轴上,$d($点$P$,▱$ABCD)=4$,求点$P$坐标；
$(3)$已知点$E\left(-1,1\right)$、$F\left(1,1\right)$、$G\left(0,0\right)$、$H\left(2,0\right)$,顺次连接点$E$、$F$、$H$、$G$,将得到的四边形记为图形$W(包括边界)$.在图$2$中画出图形$W$,直接写出$d(W$,平行四边形$ABCD)$的值.