如图,抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$过点$A\left(4,0\right)$,$B\left(0,2\right).M\left(m,0\right)$为线段$OA$上一个动点（点$M$与点$A$不重合）,过点$M$作垂直于$x$轴的直线与直线$AB$和抛物线分别交于点$D$、$N$.
$(1)$求直线$AB$的表达式和抛物线的表达式；
$(2)$若$DN=3DM$,求此时点$N$的坐标；
$(3)$若点$P$为直线$AB$上方的抛物线上一个动点,当$\angle ABP=2\angle BAC$时,求点$P$的坐标.