如图,在平面直角坐标系中,$A\left(0,6\right)$,$B\left(6,0\right)$,点$D$为线段$OB$上的一个动点（点$D$不与点$O$,$B$重合）,点$C$在$AB$的延长线上,$CD=AD=DM$,且$DB$是$\angle CDM$的平分线,连接$AM$.
$(1)$求证:$\angle OAD=\angle CDB$；
$(2)$当点$D$是$OB$的中点时,求点$C$的坐标；
$(3)$在点$D$运动的过程中,$\angle DAM$的大小是否发生变化?如果变化,请求出$\angle DAM$的度数的取值范围；如果不变,请求出$\angle DAM$的度数.