如图$1$,在▱$ABCD$中,$\angle ABC$的平分线交$AD$于点$E$,$\angle ADC$的平分线交$BC$于点$F$.

$(1)$求证:四边形$BEDF$为平行四边形；
$(2)$如图$2$,连接$EF$,若$EF\bot BC$,$BF=8$,$EF=4$,求▱$ABCD$的面积；
$(3)$如图$3$,连接$EF$,作$\triangle EAB$关于直线$EF$对称的$\triangle ECH$,其中点$A$,$B$的对应点分别为点$C$,$H$,恰好有$HE\bot DF$,垂足为$G$.若$EF=\sqrt{2}$,求$BE$的长.