在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC=6$,点$D$为平面内一点.

$(1)$如图$1$,若点$D$在$\triangle ABC$内部,$AC=CD$,连接$AD$交$BC$于点$E$,$\angle ADC=75^{\circ}$,求$EC$的长；
$(2)$如图$2$,点$D$在$AC$右侧,连接$AD$,$CD\left(AD \gt CD\right)$,$\angle ADC=45^{\circ}$,连接$BD$,点$F$是$BD$的中点,连接$AF$.用等式表示线段$AD$,$AF$,$CD$之间的数量关系,并证明；
$(3)$如图$3$,点$M$,$N$分别是线段$AB$,$BC$上一点,且$BM=CN$,连接$MN$,将线段$MN$绕点$M$顺时针旋转$90^{\circ}$至线段$MD$,连接$AD$,点$H$是线段$AB$的中点,连接$HN$,$HD$,当$AD$取最小时,直接写出$\triangle HND$的面积.