定义:如果两个一元一次方程的解之和为$0$,我们就称这两个方程为"友好方程".
例如:$2x=2$的解为$x=1$；$x+2=1$的解为$x=-1$,所以这两个方程为"友好方程".
$(1)$若关于$x$的一元一次方程$x+2m=0$与$3x-2=-x$是"友好方程",则$m=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$已知两个一元一次方程为"友好方程",且这两个"友好方程"的解的差为$3$.若其中一个方程的解为$x=k$,求$k$的值.
$(3)$若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2023}x-1=0$和$\frac{1}{2023}x-5=2x+a$是"友好方程",则关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2023}(y-1)-5=2y+a-2$的解为______.