如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=6cm$,$BC=8cm$.动点$M$从点$B$出发,在$BA$边上以每秒$3cm$的速度向定点$A$运动,同时动点$N$从点$C$出发,在$CB$边上以每秒$2cm$的速度向点$B$运动,运动时间为$t$秒$(0 \lt t \lt \frac{10}{3})$,连接$MN$.
$(1)$若$\triangle BMN$与$\triangle ABC$相似,求$t$的值；
$(2)$连接$AN$,$CM$,若$AN\bot CM$,求$t$的值.