如图,$CD$为$\triangle ABC$的中线,以$CD$为直角边在其右侧作直角$\triangle CDE$,$CD\bot DE$,$BC$与$DE$交于点$F$,$\angle CED=30^{\circ}$.
$(1)$如图$1$,若$\angle DCB=30^{\circ}$,$EF=4$,求$CE$的长；
$(2)$如图$2$,若将$BC$绕点$C$逆时针旋转$120^{\circ}$得到$CG$,连接$AG$、$AE$,探究$AG$与$AE$的数量关系,并说明理由；
$(3)$如图$3$,若$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=1$,$BC=\sqrt{3}$,直线$CE$上有一点$M$,连接$MF$,将$\triangle CFM$沿着$MF$翻折到$\triangle ABC$所在的平面内得到$\triangle NFM$,取$NF$的中点$P$,连接$AP$,当$AP$最大时,请直接写出$\triangle ABP$的面积.