问题引入:课外兴趣小组活动时,老师提出这样的问题:如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=5$,$AC=3$,求$BC$边上的中线的取值范围.小华在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长$AD$到$E$,使得$DE=AD$,再连接$BE$,把$AB$,$AC$,$2AD$集中在$\triangle ABE$中,利用三角形的三边关系可得$2 \lt AE \lt 8$,则$1 \lt AD \lt 4$.从中他总结出:解题时,条件中若出现"中线""中点"等条件,可以考虑将中线加倍延长,构造全等三角形,把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中.

$(1)$请你用小华的方法证明$AB+AC \gt 2AD$；
$(2)$由第（1）问方法的启发,请你证明下面命题:如图$2$,在$\triangle ABC$中,$D$是$BC$边上的一点,$AE$是$\triangle ABD$的中线,$CD=AB$,$\angle BDA=\angle BAD$,求证:$AC=2AE$；
$(3)$如图$3$,在$Rt\triangle ABO$和$Rt\triangle CDO$中,$\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$,$OA=OB$,$OC=OD$,连接$AD$,点$M$为$AD$中点,连接$OM$,请你直接写出$\frac{BC}{OM}$的值.