已知在四边形$ABCD$中,$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$,$AB=BC$.

$(1)$如图$1$,若$\angle BAD=90^{\circ}$,$AD=2$,求$CD$的长度；
$(2)$如图$2$,点$P$、$Q$分别在线段$AD$、$DC$上,满足$PQ=AP+CQ$,①求证:$PB$平分$\angle APQ$.②求证:$\angle PBQ=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ADC$；
$(3)$如图$3$,若点$Q$运动到$DC$的延长线上,点$P$也运动到$DA$的延长线上时,仍然满足$PQ=AP+CQ$,请直接写出$\angle PBQ$与$\angle ADC$的数量关系.