如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+4\left(a\neq 0\right)$经过点$(3,\frac{5}{2})$,与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,抛物线的对称轴是直线$x=1$.

$(1)$求抛物线的表达式；
$(2)$点$P$是直线$BC$上方抛物线上的一动点,过点$P$作$PD$∥$y$轴,交$BC$于点$D$.点$M$是$y$轴上的一动点,连接$PM$,$DM$.当线段$PD$长度取得最大值时,求$\triangle PDM$周长的最小值；
$(3)$将该抛物线进行平移,使得平移后的抛物线经过（2）中$\triangle PDM$周长取得最小值时的点$M$,且与$x$轴交于$E\left(-4,0\right)$,$F$两点$(E$在$F$的左侧),连接$EM$.点$N$为平移后的抛物线上的一动点,当$\angle MEF+\angle NEF=45^{\circ}$时,请直接写出所有符合条件的点$N$的坐标.