数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:
如图$1$:在$\triangle ABC$中,$AB=3$,$AC=5$,$D$是$BC$的中点,求$BC$边上的中线$AD$的取值范围.
【问题初探】:
第一小组经过合作交流,得到如下解决方法:如图$2$延长$AD$至$E$,使得$DE=AD$,连接$BE$.利用三角形全等将线段$AC$转移到线段$BE$,这样就把线段$AB$,$AC$,$2AD$集中到$\triangle ABE$中,利用三角形三边的关系即可得到中线$AD$的取值范围,
第二小组经过合作交流,得到另一种解决方法:如图$3$过点$B$作$AG$的平行线交$AD$的延长线于点$F$,利用三角形全等将线段$AC$转移到$BF$,同样就把线段$AB$,$AC$,$2AD$集中到$\triangle ABF$中,利用一角形三边的关系即可得到中线$AD$的取值范围.
$(1)$请你选择一个小组的解题思路,写出证明过程.
【方法感悟】
当条件中出现"中点""中线"等条件时,可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线.构造出"平行八字型"全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中,顺利解决问题.
【类比分析】
$(2)$如图$4$在$\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,$AB=6$,$AD$是$\triangle ABC$的中线,$CE\bot BC$,$CE=10$且$\angle ADE=90^{\circ}$,求$AE$的长度.
【思维拓展】
$(3)$如图$5$:在$\triangle ABC$中,$AF\bot BC$于点$F$在$AB$右侧作$AD\bot AB$,且$AD=AB$,在$AC$的左侧作$AE\bot AC$,且$AE=AC$,连接$DE$,延长$AF$交$DE$于点$O$,证明$O$为$DE$中点.