在平面直角坐标系$xOy$中,横坐标分别为$m$,$-m$,$\frac{m}{2}(m＜0)$的点$A$、$B$、$C$在抛物线$y=ax^{2}(a$为常数,$a \lt 0)$的图象上,连接$AB$,若点$O$到$AB$的距离等于线段$AB$的长.

$(1)$求$am$的值；
$(2)$如图$1$,当$m=-4$时,若点$D$为直线$BC$上方抛物线上一点,过点$D$作$x$轴的垂线,分别交$BC$、$AB$于点$E$、$F$,连接$CD$,若$\triangle CDE$为直角三角形,求点$D$的坐标；
$(3)$如图$2$,当$a=-1$时,连接$AO$,点$G$为$AO$的中点,$T$是第四象限抛物线上一动点,连接$TG$交抛物线于点$S$,直线$AS$与直线$TO$交于点$N$.问点$N$是否在一条定直线上?若是,求该直线的表达式；若不是,请说明理由.