如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=4$，点$D$在$AC$上，$CD=3$，连接$DB$，$AD=DB$，点$P$是边$AC$上一动点$($点$P$不与点$A$，$D$，$C$重合$)$，过点$P$作$AC$的垂线，与$AB$相交于点$Q$，连接$DQ$，设$AP=x$，$\triangle PDQ$与$\triangle ABD$重叠部分的面积为$S.$
$(1)$求$AC$的长；
$(2)$求$S$关于$x$的函数解析式，并直接写出自变量$x$的取值范围．