如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,点$M$、$N$在边$BC$上.

$(1)$如图$1$,如果$AM=AN$,求证:$BM=CN$；
$(2)$如图$2$,如果$M$、$N$是边$BC$上任意两点,并满足$\angle MAN=45^{\circ}$,那么线段$BM$、$MN$、$NC$是否有可能使等式$MN^{2}=BM^{2}+NC^{2}$成立?如果成立,请证明；如果不成立,请说明理由.