对某一个函数给出如下定义:如果存在实数$M$,对于任意的函数值$y$,都满足$y\leqslant M$,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的$M$中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,函数$y=-\left(x-3\right)^{2}+2$是有上界函数,其上确界是$2$.
$(1)$函数①$y=x^{2}+2x+1$和②$y=2x-3\left(x\leqslant 5\right)$中是有上界函数的为______$(只填序号即可)$,其上确界为______；
$(2)$若反比例函数$y=\frac{6}{x}(a\leqslant x\leqslant b,a \gt 0)$的上确界是$b+1$,且该函数的最小值为$2$,求$a$、$b$的值；
$(3)$如果函数$y=-x^{2}+2ax+2\left(-1\leqslant x\leqslant 3\right)$是以$6$为上确界的有上界函数,求实数$a$的值.