将两个等腰直角$\triangle ABC$与$\triangle EFC$如图放置,$AC=BC$,$CE=CF$,$\angle ACB=\angle ECF=90^{\circ}$.
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$(1)$如图$1$,若点$A$、$E$、$F$三点共线时,交线段$BC$于点$G$,点$D$是线段$AB$的点,满足$AD=DF$,$\angle BDF=30^{\circ}$,求$\angle BCF$的度数；
$(2)$当$\triangle EFC$绕着点$C$顺时针旋转至如图$2$时,分别连接$AF$,$BE$,若点$M$是线段$AF$的中点,连接$MC$,求证:$BE=2CM$；
$(3)$当$\triangle EFC$绕着点$C$顺时针旋转至如图$3$时,分别连接$AF$,$BE$,若点$M$是线段$AF$的中点,$CE=12$,$AC=23$,$BE=17$,四边形$ABEF$面积为$668$时,直接写出点$A$到$CM$的距离.