四边形$ABCD$和四边形$AMPN$有公共顶点$A$,连接$BM$和$DN$.
$(1)$如图$1$,若四边形$ABCD$和四边形$AMPN$都是正方形,当正方形$AMPN$绕点$A$旋转$\alpha$角$\left(0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 360^{\circ}\right)$时,$BM$和$DN$的数量关系是______,位置关系是______；
$(2)$如图$2$,若四边形$ABCD$和四边形$AMPN$都是矩形,且$\frac{{AB}}{{AD}}=\frac{{AM}}{{AN}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$,判断$BM$和$DN$的数量关系和位置关系,并说明理由；
$(3)$在（2）的条件下,若$AB=2$,$AM=1$,矩形$AMPN$绕点$A$逆时针旋转$\alpha$角$\left(0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 360^{\circ}\right)$,当$MN$∥$AB$时,求线段$DN$的长.