如图,$AB$为$\odot O$的直径,$C$是$\odot O$上一点,过点$C$的直线交$AB$的延长线于点$D$,$AE\bot DC$,垂足为$E$,$F$是$AE$与$\odot O$的交点,$AC$平分$\angle BAE$,连接$OC$.
$(1)$求证:$DE$是$\odot O$的切线；
$(2)$若$\odot O$半径为$4$,$\angle D=30^{\circ}$,求图中阴影部分的面积（结果用含$\pi$和根号的式子表示).