综合与实践:如图,这是我市某校校园内的环形跑道,跑道是由线段$AC$,$BD$及半圆$m$,$n$组成的,已知跑道的周长为$400$米,半圆$m$,$n$的长都为$88$米,$AC=BD$,$E$和$F$分别是线段$AC$和$BD$的中点（请用方程的相关知识解决下列问题).
$(1)$求线段$AE$的长；
$(2)$甲乙两人在如图所示的环形跑道上练习跑步,已知甲乙两人分别从点$E$、$F$两处同时沿着箭头方向出发,甲的速度是$6$米$/$秒,乙的速度是$4$米$/$秒；
①多长时间后,两人首次相遇?
②在首次相遇后且在第二次相遇前,起跑多少秒后两人在跑道上相距$100$米?