在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=x^{2}-\left(2+m\right)x+2m$的对称轴为直线$x=t$.
$(1)$求$t$的值（用含$m$的代数式表示）；
$(2)$点$A(-t$,$y_{1})$,$B(t$,$y_{2})$,$C(t+1$,$y_{3})$在该抛物线上.若抛物线与$x$轴的一个交点为$(x_{0}$,$0)$,其中$0 \lt x_{0} \lt 2$,比较$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小,并说明理由.